青菜年糕汤

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2021年8月14日

由退休理财想到的数列通项公式问题

作者:青菜年糕汤

首先得提一下FIRE (Financial Independence, Retire Early 经济独立,提前退休) 运动。如字面意思,这是一种以财务自由和提前退休为目标的一种生活方式。比如说,如果你攒够了一千万人民币的净资产,而且相信市场的年均资本利得率能在4%以上。那么即使不再工作,每年也相当于能获得四十万元的被动收入。只要你每年的全部支出小于四十万,就有理由心安理得地提前退休,不管活多久都不会用完。

显然,通货膨胀是个问题。现在每年四十万当然能回国过美滋滋的生活,但几十年后,可能就缩水得一文不值。不过,只要资本利得率减去通胀还能保持在4%以上,也就能确保每年获得价值相当于今天的四十万的被动收入。而根据近几十年的历史数据,长期投资的收益率还能够保证在这个水平上的。

真正让FIRE落实到现实生活中,还要对更多的细节,尤其是各种风险,进行讨论,那就不是本文要关注的了。本文只是随手记录下一个偶然想到的数学问题,仅作理论讨论,不代表投资建议。

这个问题的背景是这样的:前文(《理解美国退休账户》系列)讲到过,美国有各类退休账户,政府为了鼓励大家为退休攒钱,给退休账户提供了税务优惠。为了尽可能多省税,很多人会在允许的额度内,把收入尽可能多地往退休账户放。但这类账户也有个限制,如果在59.5岁之前取出,非但享受不到优惠,还有额外的10%的罚款,就不划算。

这个取出限制对于要正常时间退休的人来说,一般不会是个问题。但如果提前退休,就得考虑清楚。

每年增长4%,取出4%,总量(准确的说是现值,如果考虑上通胀)不会变。普通投资账户和退休账户都有增长,但取出只能从普通账户中取。长此以往,退休账户在总资产中占的比例越来越高,可能还没到59.5岁,所有的资产就都到了退休账户,就不得不提前动用退休账户的资金。

是否会提前用完,肯定跟普通账户与退休账户中资金的比例有关。如果开始时普通账户比重很大,到59.5岁时也还会有盈余,而如果比重很小,就会比较早用竭。

定量地来看这个问题,平衡点在哪呢?

让我们来分析一下它的数学模型。

设普通账户和退休账户总和是1,一年后增长到1.04,从中取出0.04,总资产还是1。其中普通账户的比例是x,一年后这部分增长到1.04x,但所有支出都要从普通账户取出,也即取出0.04,剩下1.04x-0.04。也就是说每一年普通账户的比例相较于上一年的递推公式是

\[a_n = 1.04 \cdot a_{n-1} - 0.04\]

如果我们30岁提前退休,等到60岁可以从退休账户取钱,中间有30年。这个问题就抽象成:a₀取多少时,a₃₀刚好为0?

如果是中学生碰到这个问题,当然可以轻而易举地算出通项公式求解。但现在如果不想老老实实地拿出笔纸来算,也有不少方法。

我的第一反应是拉一个电子表格。第一个格先随便填上一个猜测的答案,如0.8。在第二格填上递推公式“=A1*1.04-0.04”。把单元格拖到第31格,就能看到0.35。也就是说,如果开始时普通账户占80%,三十年后还有35%,所以这个比例还可以更低。不断调整第一格的值,可以发现当开始为70%时,三十年后刚好变为0%。

问题解决了。只要退休账户的资产不超过30%,就不会碰到麻烦。如若不然,就要少往退休账户放钱吗?也未必,但不在这里讨论。

虽然洋洋洒洒写了一堆,但实际上,从想出这个问题到解决,也就十分钟的时间,由此可见数学工具的重要性。

另外个办法是把递推公式与“a₃₀=0”放进WolframAlpha,也能求出来,还是个干净的解析解。

当然,如果真要手动算出通项公式,动脑筋一想其实也不难。虽然这个数列既不等差,也不等比,但稍微处理一下就能构造出个等比数列

\[a_n - 1 = 1.04 \cdot (a_{n-1} - 1)\]

,还是能轻松根据a₃₀求出a₀的解析解。