首先得提一下FIRE (Financial Independence, Retire Early 经济独立，提前退休) 运动。如字面意思，这是一种以财务自由和提前退休为目标的一种生活方式。比如说，如果你攒够了一千万人民币的净资产，而且相信市场的年均资本利得率能在4%以上。那么即使不再工作，每年也相当于能获得四十万元的被动收入。只要你每年的全部支出小于四十万，就有理由心安理得地提前退休，不管活多久都不会用完。
显然，通货膨胀是个问题。现在每年四十万当然能回国过美滋滋的生活，但几十年后，可能就缩水得一文不值。不过，只要资本利得率减去通胀还能保持在4%以上，也就能确保每年获得价值相当于今天的四十万的被动收入。而根据近几十年的历史数据，长期投资的收益率还能够保证在这个水平上的。
真正让FIRE落实到现实生活中，还要对更多的细节，尤其是各种风险，进行讨论，那就不是本文要关注的了。本文只是随手记录下一个偶然想到的数学问题，仅作理论讨论，不代表投资建议。
这个问题的背景是这样的：前文（《理解美国退休账户》系列）讲到过，美国有各类退休账户，政府为了鼓励大家为退休攒钱，给退休账户提供了税务优惠。为了尽可能多省税，很多人会在允许的额度内，把收入尽可能多地往退休账户放。但这类账户也有个限制，如果在59.5岁之前取出，非但享受不到优惠，还有额外的10%的罚款，就不划算。
这个取出限制对于要正常时间退休的人来说，一般不会是个问题。但如果提前退休，就得考虑清楚。
每年增长4%，取出4%，总量（准确的说是现值，如果考虑上通胀）不会变。普通投资账户和退休账户都有增长，但取出只能从普通账户中取。长此以往，退休账户在总资产中占的比例越来越高，可能还没到59.5岁，所有的资产就都到了退休账户，就不得不提前动用退休账户的资金。
是否会提前用完，肯定跟普通账户与退休账户中资金的比例有关。如果开始时普通账户比重很大，到59.5岁时也还会有盈余，而如果比重很小，就会比较早用竭。
定量地来看这个问题，平衡点在哪呢？
让我们来分析一下它的数学模型。
设普通账户和退休账户总和是1，一年后增长到1.04，从中取出0.04，总资产还是1。其中普通账户的比例是x，一年后这部分增长到1.04x，但所有支出都要从普通账户取出，也即取出0.04，剩下1.04x-0.04。也就是说每一年普通账户的比例相较于上一年的递推公式是
\[a_n = 1.04 \cdot a_{n-1} - 0.04\]如果我们30岁提前退休，等到60岁可以从退休账户取钱，中间有30年。这个问题就抽象成：a₀取多少时，a₃₀刚好为0？
如果是中学生碰到这个问题，当然可以轻而易举地算出通项公式求解。但现在如果不想老老实实地拿出笔纸来算，也有不少方法。
我的第一反应是拉一个电子表格。第一个格先随便填上一个猜测的答案，如0.8。在第二格填上递推公式“=A1*1.04-0.04”。把单元格拖到第31格，就能看到0.35。也就是说，如果开始时普通账户占80%，三十年后还有35%，所以这个比例还可以更低。不断调整第一格的值，可以发现当开始为70%时，三十年后刚好变为0%。
问题解决了。只要退休账户的资产不超过30%，就不会碰到麻烦。如若不然，就要少往退休账户放钱吗？也未必，但不在这里讨论。
虽然洋洋洒洒写了一堆，但实际上，从想出这个问题到解决，也就十分钟的时间，由此可见数学工具的重要性。
另外个办法是把递推公式与“a₃₀=0”放进WolframAlpha，也能求出来，还是个干净的解析解。
当然，如果真要手动算出通项公式，动脑筋一想其实也不难。虽然这个数列既不等差，也不等比，但稍微处理一下就能构造出个等比数列
\[a_n - 1 = 1.04 \cdot (a_{n-1} - 1)\]，还是能轻松根据a₃₀求出a₀的解析解。