青菜年糕汤

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2020年2月4日

因消防检查但想睡懒觉想到的一个概率问题

作者:青菜年糕汤

上星期六,大年初一,早上九点钟,我被小区里的消防警报吵醒。

想起来原来是要入户消防检查。预约的时间是那一整天白天,但具体什么时间到哪一户不知道。

我家门铃一直是坏的,要是来消防检查的人按门铃,在卧室根本听不到。​

那岂不是得去客厅等,睡不成懒觉了?

我坚强地哆嗦着从被窝中钻出来,好不容易找到纸,写上门铃坏了,留了个电话,贴在外面的门铃上。

重新滚进温暖的被窝。

然而还是不能睡懒觉,因为睡着了可能就听不到敲门或者电话声了。

然后就开始瞎想。

还有两个室友在家呢,是不是应该轮流来等敲门?

但如果轮流来等的话,每个人应该等多久才公平呢?

肯定不能平均分配每个人的“值班”时间,因为很可能还没轮到排后面的人,消防检查就结束了,排越后面就越合算。

如果假设来消防检查的时间在整个白天里是随机的,要怎么分配才能让每个人理论上要等的时间一样呢?

有兴趣的读者可以在这里停下来想一下。

我们可以考虑计算这样一个东西:

一个事件在一段时间内随机发生。从这段时间的起点到这个事件的发生需要等待。求在某个时间点,已等待时间占总共需等待时间的比率的期望。

躺在床上,记性又不行,怎么办?

打开手机上的备忘录,调出画笔,开始列式子。

为了省事,把这段时间的长度就当作1。如果要完整的设成未知数写出来,也是一样的。

为了求某个时间点T(T在0与1之间)的这个比率的期望,假设事件发生在t时刻。

有T的可能性,这个事件已经发生了(也就是t早于T)。在这种情况下,已等待时间和总共需等待时间都等于t,这个比率就是1。

如果这个事件还没发生,已等待时间是T,总共需要等待时间是t。让t取在T到1之间,把这个比率积起来。

说了这么多,其实式子列出来其实很简单:

几年没碰数学,但这个积分还是行的,结果是T - T lnT。

(啊,上面的真的不是表情T^T)

用居家旅行必备最适合用于躺在床上想心事的计算神器Wolfram Alpha算得:

当期望等于0.5时,T等于0.187。

也就是说,如果两个人轮班等,前面那个人的值班时间是前五分之一都不到。

这有点不符合直觉,比我预想的要短不少。

我原先估计,它应该是在四分之一和二分之一之间。因为总等待时间的期望是二分之一,每个人等待时间的期望就是四分之一。第一个人为了实现四分之一的期望,值班的时间总要超过四分之一吧?

我到底有没有弄错,我也不知道。欢迎告诉我。

至于三个人轮班,算下来第一个人只要十分之一左右。有意思。

想到这里,消防检查的人就来了。

看来这个研究成果这次是用不到了。起床,开门。

顺便说一下消防检查检查了啥。

其实就是物业派人(还是消防局派的人?)测试家里各个房间的烟雾报警器能不能正常工作。

之间那人先拿一个喷罐往烟雾报警器一喷。报警器定眼儿一看,感觉是烟雾,警报大作。他再拿另一个不知道装了什么东西的喷罐一喷,烟雾消失,警报也停了。

跟明教的五行旗一样。

送走消防检查的人,终于能睡懒觉了?

我这才发现,东一声,西一声,此起彼伏警报声,还是睡不成。